Wenn sich Zahlen an Gesetze halten ...

Die ersten Seiten der Logarithmentafeln sind immer stärker abgegriffen als die hinteren

Alles begann mit einer kuriosen Entdeckung Ende des 19. Jahrhunderts: Damals nutzten Wissenschaftler Logarithmentafeln, um komplizierte Rechnungen zu vereinfachen. Nach einigen Jahren sah man ihnen ihren intensiven Gebrauch an: Die Ecken waren abgegriffen und auch die Seiten vom vielen Blättern deutlich dunkler gefärbt. Das Erstaunliche aber war: Die ersten Seiten waren viel schmutziger als die hinteren – so als ob jene Zahlen, die mit niedrigen Ziffern beginnen, häufiger nachgeschlagen wurden als jene, die mit höheren Ziffern anfangen.

Abgegriffene Seiten führten zu einer mysteriösen Entdeckung

So verteilen sich die Anfangsziffern von Zahlen

Diese Entdeckung veröffentlichte als Erster der Mathematiker Simon Newcomb (1835–1909): Im "American Journal of Mathematics" schrieb er im Jahr 1881, dass die "1" als erste Ziffer einer Zahl mit einer Wahrscheinlichkeit von 30,1 % auftauche. Die "2" als erste Ziffer folge mit 17,6 % und die "9" komme am seltensten vor: Lediglich 4,6 % aller Zahlen begännen mit dieser Ziffer (vgl. Abbildung links).

Das Benford-Gesetz

Frank Benford lebte von 1883 bis 1948

Newcombs Entdeckung geriet in Vergessenheit. Viele Jahr später – in den 1920er Jahren – waren es wiederum Logarithmentafeln, an denen die charakteristisch erscheinende Verteilung der Ziffern neu entdeckt wurde: Der Physiker Frank Benford (1883–1948) untersuchte daraufhin die Zahlen aus ganz unterschiedlichen Lebensbereichen. Egal ob er die Länge der Flüsse in den USA, die Fläche von Seen, die Hausnummern einer Stadt oder alle Zahlen in einer Ausgabe des "Reader's Digest" untersuchte: Er fand überall, dass etwa 30 % dieser Zahlen mit einer "1" beginnen. Benford veröffentlichte seine Beobachtungen schließlich 1938. Die verblüffende Verteilung der Anfangsziffern bei Zahlen ist schließlich auch nach ihrem zweiten Entdecker "Benfords Gesetz" genannt worden.

Das Rätsel der sonderbaren Ziffern-Verteilung

Die prozentuale Verteilung der ersten Ziffern ist natürlich auch vom Zahlenbereich abhängig, aus dem die Zahlen stammen. Betrachtet man alle Zahlen von 1 bis 9, dann kommt jede Ziffer gleich häufig vor - nämlich zu je einem Neuntel (11,1%). Bei den Zahlen von 1 bis 19 sieht die Sache schon anders aus: Die "1" hat die Vorherrschaft übernommen: Sie kommt elf Mal vor; das sind 57,9%. Anders ist es bei den Zahlen von 1 bis 99: Hier sind es zwar ebenfalls elf Zahlen, die mit der "1" beginnen - prozentual sind es aber nun wiederum nur 11,1%. Führt man diese Berechnungen fort, erhält man immer wieder ähnliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Bei 1-1999 sind es 55,6% und bei 1-9999 hingegen wieder 11,1%. Wenn man diese beiden Extremwerte mittelt, kommt man für die Ziffer "1" auf eine Wahrscheinlichkeit von etwa 33%.

Dass die Eins immer die Nase vorn hat, kann man sich aber auch auf eine andere Art plausibel machen, z.B. bei Zahlen aus dem Wirtschaftsleben: Wenn etwa der Deutsche Aktien-Index DAX von 1000 auf 2000 Punkte steigt, muss er um 100 Prozent zulegen. Der gleiche 1000er-Sprung von 8000 auf 9000 Punkte hingegen ist schon mit einem Zuwachs von nur 12,5 Prozent geschafft. Die Werte verharren also im Bereich der führenden Eins deutlich länger als in den anderen.